Plano de Aula

Problema proposto pela equipe 05:     

1. Num armazém retangular, o dobro do comprimento é igual ao triplo da largura. Se o armazém tivesse mais 3 metros de largura e menos 3 metros de comprimento, seria um quadrado. Descubra as dimensões do armazém.

Plano de Aula

DISCIPLINA:           Matemática

PÚBLICO ALVO:    7ª série - 8° ano _ Ensino Fundamental

OBJETO DO CONHECIMENTO:   TEMA 01

TEMA 01:     Números, Operações, Funções (Números Racionais / Potenciação, Números Reais,
                    Expressões Algébricas  equações, gráficos cartesianos, equações do 2º grau, funções)

            RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU

COM DUAS VARIÁVEIS

OBJETIVO GERAL:           

◊        Ler, interpretar, transformar em linguagem matemática e resolver o problema proposto.

CONTEÚDO: 
Operações Básicas (adição, subtração, multiplicação, divisão)
Equação do 1ª grau com duas variáveis.
Pares Ordenados e Plano cartesiano
Sistema de Equação do 1° grau duas variáveis.

Competência de Área 1
Desenvolver o raciocínio quantitativo e o pensamento funcional, isto é, o pensamento em termos de relações e a variedade de suas representações, incluindo as simbólicas, as algébricas, as gráficas, as tabulares e as geométricas. Aplicar expressões analíticas para modelar e resolver problemas.

Competência de Área 2
Compreender as propriedades dos objetos e a sua posição relativa e desenvolver o raciocínio espacial por meio de construções e de formas.

COMPETÊNCIAS E HABILIDADES:

 H06 – Identificar um sistema de equação do 1º grau que expressa um problema.  (GI)

­ H07 – Identificar a relação entre as representações algébrica e geométrica de um sistema de equação do 1º grau (GI)

­ H18 – Resolver sistemas lineares (métodos da adição e da substituição). (GIII)

H28 – Usar o plano cartesiano para representação de pares ordenados: coordenadas cartesianas e equações lineares. (GI)

•   Reconhecer que uma só equação do 1ª grau com duas variáveis possui infinitas possibilidades de soluções reais.
• Constatar que duas equações de 1ª grau com duas variáveis irão possuir apenas uma única solução comum (x, y).
•  Identificar a formação de pares ordenados como solução de sistema de equações. 
•   Resolver sistemas de equações de 1ª grau com duas variáveis usando os métodos de substituição, adição e comparação.
•  Representar sistemas de equações graficamente através dos pares ordenados.
•   Interpretar o plano cartesiano e traçar o gráfico de uma equação do tipo ax + by = c  nesse plano.
•    Efetuar a resolução gráfica de um sistema de equações com duas incógnitas.

JUSTIFICATIVA:

º   Compreender que a solução de um sistema de equações de primeiro grau com duas variáveis é o ponto do plano cartesiano (x, y) que ao mesmo tempo satisfaz ambas as equações e está representado pela intersecção das retas.

PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS:

• É relevante aplicar Polya na resolução de problema.

Atividade envolvendo leitura, transformação em linguagem matemática, além de ilustração e formalização de conceitos.

Atividade com o uso de malha quadriculada, softwares matemáticos.

RECURSOS MATÉRIAS  E  TECNOLÓGICOS:

            Entregar a cada aluno uma folha contendo malha quadriculada ou uma folha de papel milimetrado para a construção do gráfico.

            Também, conduzi-los a Sala de Informática para que utilizem os softwares: GEOGEBRA WINPLOT e outros.

AVALIAÇÃO:

            Se possível conferir se cada aluno localizou corretamente os associados aos pares obtidos na 1ª tabela.

            Em caso positivo, solicite que destaquem os pontos à tinta, numa só cor.

            Depois peça que localize num mesmo referencial os pontos associados às duplas obtidas na 2ª tabela.

            Confira o trabalho dos alunos e solicite que destaquem os pontos à tinta, numa cor diferente aquela usada anteriormente.

            O que você  observa em relação aos pontos de cada tabela?

            Espera-se que os alunos respondam que "Os pontos estão alinhados".

            Em que pontos  as retas se intersectam?

            Neste momento é esperado que os alunos já saibam  as coordenadas do ponto de intersecção das retas.

            Proponha aos alunos a resolução do sistema de equações abaixo, utilizando o método que achar mais fácil (adição, substituição ou comparação).

            Exija que escrevam a solução do sistema na S={(x,y)}

            Mediadora quando houver a necessidade da intervenção do professor para a construção do conhecimento.

            É importante que avaliação seja também cumulativa, observando o progresso do aluno. 

RECUPERAÇÃO:

ð Retomar os aspectos essenciais, para sanar ás dúvidas.

Pequena Narrativa de Equação

A equação é uma maneira de resolver situações nas quais surgem valores desconhecidos quando se tem uma igualdade.

Elas ganharam importância a partir do momento em que passaram a serem escritas com símbolos matemáticos e letras, as equações são geralmente usadas em resoluções de problemas numéricos sobre preços de coisas, idade de pessoas ou medidas dos lados das figuras, determinarem o lucro de uma firma, para calcular a taxa de uma aplicação financeira, para fazer a previsão do tempo, etc.

Elas também englobam as próprias expressões algébricas, pois ela é o idioma da álgebra.

É devido à evolução dos estudos das equações podemos utilizar outras variáveis, letras, para calcular o valor desconhecidos, ou seja, o que se quer descobrir em um sistema  de equação.

Chamamos os termos desconhecidos de incógnitas, sendo que ele ocupa o lugar desconhecido em um sistema de equação.

Enfim ela fez e faz com Homem consiga a sua evolução em relação ao planeta.

O Surgimento de Equação

As primeiras equações apareceram no Antigo Egito, onde se tem o registro mais antigo de operações matemáticas. Os egípcios trabalhavam com equações simples, de uma variável apenas.
Suas equações não eram expressas por números e sinais. Eram escritas nos papiros na forma de problemas, sendo que o elemento desconhecido, a variável, tinha um nome especial: aha.

Os Babilônios e os Sistemas de duas Equações

A civilização babilônica deu um passo à frente no campo das equações.
Eles já trabalhavam com sistemas de duas equações com duas variáveis que eram resolvidos por um método muito semelhante ao que é ensinado atualmente na escola. Da mesma forma que os egípcios, as equações babilônicas eram expressas na forma de problemas.

SOLUCIONANDO   O   PROBLEMA

PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS:

à É relevante aplicar Polya na resolução de problema:

º   1ª etapa: Compreender o problema.

º   2ª etapa: Construção de uma estratégia de resolução.

º   3ª etapa: Execução da estratégia.

º   4ª etapa: revisando a solução.

No primeiro momento solicite aos alunos que façam leitura para a compreensão do problema: verificando quais são os dados e identificando quais são as incógnitas do problema.

            Devendo ser observado que se trata de uma forma geométrica retangular de dimensões.

                                

Solicite aos alunos que crie uma estratégia de resolução transformando em linguagem matemática os dados fornecidos pelo problema.

o dobro do comprimento   é  igual ao triplo da largura.

2x                =               3y

Se o armazém tivesse mais 3 metros de largura e menos 3 metros de comprimento, seria um quadrado.

   y  + 3            =              x – 3

Dai, vem:

y = x – 6 

• Proponha aos alunos que a execução da estratégia seja feita com otimização de valores para x e y.

Nas tabelas abaixo os alunos testaram quantos pares (x, y) tornam as igualdades verdadeiras.

                       

  2x =  3y

x	3	6	15	18
y	2	4	10	12
(x,y)	(3,2)	(6,4)	(15,10)	(18,12)

                                                          

    y  =  x – 6

x	3	6	15	18
y	–3	0	9	12
(x,y)	(3,-3)	(6,0)	(15,9)	(18,12)

Através da tabela os alunos verificam (18,12) é o par ordenado da solução que satisfaz as duas equações do 1º grau.

Neste momento solicite aos alunos que façam uma revisão da solução, substituindo o par ordenado nas sentenças matemáticas do problema, desse modo constatam a veracidade da solução.

                          2x   =   3y                  e                   y  + 3  =  x – 3

                        2 . 18 = 3 . 12               e                  12 + 3 = 18 – 3

Também, peça aos alunos que localize num mesmo referencial os pontos associados às duplas obtidas nas tabelas anteriores e trace a reta de cada equação onde se obtém um único ponto de intersecção, sendo este a solução do problema.

Agora, solicite que gerem o gráfico em algum software matemático.

                                Este gráfico foi construído no software GEOGEBRA.

Problema:   Num armazém retangular, o dobro do comprimento é igual ao triplo da largura. Se o armazém tivesse mais 3 metros de largura e menos 3 metros de comprimento, seria um quadrado. Descubra as dimensões do armazém.

• Mapeamento de Percurso do Problema